Lo studio delle successioni di funzioni fn(x) estende i concetti dell’analisi infinitesimale classica a insiemi di funzioni definite su un dominio X. L’indagine distingue tra convergenza puntuale e convergenza uniforme. La prima garantisce il limite in ogni singolo punto. La seconda assicura invece una coerenza globale che preserva proprietà come la continuità. Il Criterio di Cauchy fornisce una condizione necessaria e sufficiente per la convergenza uniforme, anche senza conoscere la funzione limite.
Il testo approfondisce i teoremi di passaggio al limite per integrali e derivate. Definisce le condizioni di regolarità affinché l’integrale del limite coincida con il limite degli integrali. Questa struttura teorica si applica alle serie di funzioni. In particolare, la convergenza totale implica sia quella assoluta che quella uniforme. Infine, l’autore tratta le serie di potenze e lo sviluppo in serie di Taylor. Questi strumenti permettono di rappresentare funzioni complesse tramite polinomi di grado infinito, basandosi sul raggio di convergenza e sullo studio degli estremi dell’intervallo.
Questo è solo un breve riassunto di ogni argomento, definizione e dimostrazione presente nel file sottostante. Tutti gli argomenti trattati sono appunti delle lezioni di Matematica II. Per la stesura di questi appunti è stato utilizzato anche il libro “Analisi matematica 2 di Bramanti, Pagani e Salsa” e “Analisi matematica 2 di G. Di Fazio e P. Zamboni”.
