Gli integrali possono essere di due tipi, potremmo trovare integrali indefiniti e definiti. La sostanziale differenza tra i due tipi è che la prima tipologia non è definita in nessun intervallo e ci permette di calcolare l’insieme di tutte le primitive. Mentre, tutti gli integrali definiti sono definiti in un intervallo preciso e il valore numerico che si ottiene è il valore dell’area sottesa dal trapezoide, generato da f(x). Cerchiamo di capire bene quali sono le definizioni dei differenti integrali.

Integrali indefiniti

Per dare un definizione di integrale indefinito è meglio dare prima la definizione di primitiva. Si chiama primitiva di f(x) la funzione F(x) tale che: DF(x) = f(x). Ore se F(x) è una primitiva di f(x) allora “F(x) + c” è una generica primitiva di f(x). Infatti “F(x) + c” è l’insieme di tutte e sole le primitive di f(x).
Adesso potremmo dare la definizione di integrale indefinito. Sia f una funzione di un insieme x a valori nei reali (), chiamiamo integrale indefinito di f(x) l’insieme di tutte e sole le primitive di f(x). Utilizziamo così l’integrale di f(x) in de x: .

Integrali definiti

Importante da sapere è che il calcolo degli integrali definiti è strettamente legato al calcolo dell’area di una superficie. Infatti, sia y = f(x) una funzione continua in [a;b] e per semplicità poniamo che questa funzione sia maggiore o uguale a zero. Ora chiameremo trapezoide la superficie delimitata dal grafico di f(x). Tale superficie diremo essere sottesa al grafico di f(x) nell’intervallo [a;b]. Ora suddividiamo in n parti di ampiezza uguale, essendo la funzione continua, lo sarà anche in ciascuno intervallo individuato.
Per il teorema di Weierstrass la funzione è dotata di minimo e massimo assoluti in ciascun intervallo. Sommando le aree dei rettangoli inscritti otteniamo un’area che chiamiamo somma integrale inferiore, che approssima l’area del trapezoide per difetto. Mentre sommando le aree dei rettangolini circoscritti otteniamo un’area che chiamiamo somma integrale superiore, che approssima l’area del trapezoide per eccesso. Se il numero di intervalli tendesse ad infinito le somme di queste due aree da la misura dell’area del trapezoide. Quindi chiamiamo definito della funzione f(x) nell’intervallo [a;b] che indichiamo come il valore del limite delle due somme, con il numero di intervalli tendente a più infinito. Tuttavia, questo è il caso con la funzione posta maggiore o uguale a zero.
Generalizziamo il caso. Poniamo adesso la funzione minore o uguale a zero. Dato che la funzione si trova nella parte negative dell’ordinate. A questo punto avremo un valore negativo dell’area, ma l’area non può essere minore di zero, per questo prima dell’integrale metteremo un meno prima dell’integrale.

Proprietà degli integrali definiti

Le proprietà degli integrali definiti sono diverse, vediamo subito insieme:

Formule per risolvere un integrale

Nel file di seguito sono presenti tutte le formule per poter risolvere un qualsiasi tipo di integrale. Un consiglio per risolvere un integrale definito è quello di risolvere l’integrale indefinito associato, per poi definire il risultato nell’intervallo dato.

Integrazione per parti

Alcuni tipi di integrali richiedo l’utilizzo di leggi e formule particolari. Possiamo anche trovare l’integrazione per parti. Vediamo subito la formula, la dimostrazione e qualche esempio.

Integrazione per sostituzione

Altri tipi di integrali richiedono l’utilizzo di un’altra tipologia di integrazione, quella per parti.

Integrazione di funzioni razionali fratte

Alcuni integrali di funzioni razionali fratte non possono essere risolti con i metodi già elencati precedentemente, per questo motivo diventa necessaria un’altra tipologia di integrazione. Quest’integrazione varia in basi al valore del delta o discriminante del denominatore. Infatti, distingueremo tre casi in base al suo valore, quindi quando sarà: maggiore, uguale o minore di zero.

Applicazione degli integrali

All’interno del file è possibile trovare le diverse applicazioni che hanno gli integrali, applicazioni che sono diverse. Possiamo trovare:

• il calcolo dell’area;
• teorema della media;
• funzione integrale (ponendo il risultato maggiore o uguale a zero potremmo calcolare la monotonia);
• integrali impropri;
• volume di un solido di rotazione.

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