Le derivate sono il cuore del calcolo matematico moderno. Esistono due differenti definizioni di derivata: geometrica (legata alla tangente) e fisica (la velocità e la velocità di cambiamento di una funzione).
Se prendessimo in considerazione una funzione definita in un qualche intervallo (a;b) e il suo grafico, noi possiamo vedere come le derivate della funzione in un punto dato corrisponde al coefficiente angolare della retta tangente nel punto dato. Il grafico di una funzione è il luogo dei punti che hanno coordinate (x ; f(x)), con x appartenente al dominio della funzione.
Per disegnare un grafico di funzione noi dobbiamo utilizzare un asse verticale e orizzontale. Poi, consideriamo un qualsiasi numero di questo intervallo e quindi il punto P. La retta tangente è la linea che incontra la funzione in un solo punto, su di esso il limite della retta secante unisce il punto P e Q sul grafico della funzione. Così, la retta tangente tocca il grafico nel punto P e il coefficiente angolare segue la direzione del grafico in quel punto.
Creare un grafico non è difficile, ma noi necessitano di un metodo computazionale. (In un altro articolo troverete come costruire un grafico di funzione).
L’equazione generale di una retta tangente con un coefficiente angolare “m” in un punto 
è dato dalla formula: 
. Tuttavia, la formula diventa: 
.
Le derivate: il limite del rapporto incrementale
Sia f una funzione y = f(x) che sia definita in qualsiasi intervallo (a ; b) e sia 
un qualsiasi numero in questo intervallo e sia h un numero reale. Se noi considerassimo il punto 
e 
nel grafico della funzione, noi possiamo scrivere la formula del rapporto incrementale, perché:
Questa equazione è veramente importante per definire la derivata di una funzione, perché la derivata di una funzione in un punto è uguale al limite del rapporto incrementale con h tendente a zero. Quindi:
Così la derivata della funzione in un punto è il coefficiente angolare della tangente al grafico in P. Infatti, la retta secante PQ diventa la tangente al grafico in P, se h tende a zero. In questo caso, l’equazione generica di questa tangente diventa:.
Le formule di derivazione
Nel file di seguito è possibile ritrovare tutte le formule di derivazione: derivate semplici e composte. Inoltre è possibile trovare come derivare: una somma, un prodotto e un quoziente.
Di seguito è possibile trovare la spiegazione delle derivate in inglese.
Infine, calcolare la derivata seconda di una funzione è molto semplice, perché basta derivare la derivata prima della funzione. La derivata seconda è importantissima per lo studio della concavità in grafico di funzione.
Per calcolare la derivata terza e così via, basta fare la derivata del risultato della derivata precedente.